Hilbert'in Büyük Oteli Paradoksu'nun temeli, sonsuzluk kavramının doğası gereği normal mantıkla çatışan mantıksal sonuçlara işaret etmesidir. Normal bir oteldeki oda sayısı gibi düşünülen durum, sonsuzluk durumunda geçerli olmayabilir çünkü sonsuz sayıda tek sayı ve sonsuz sayıda toplam sayı bulunmaktadır.
Paradoks, filozof David Hilbert tarafından 1924'teki bir konferansta ilk kez ortaya atılmış ve o günden beri sonsuzluk ilkelerini anlamak için kullanılmıştır.
Hilbert'in Büyük Otel Paradoksu, sonsuzluğun mantık dışı doğasını vurgulayan meşhur bir düşünce deneyidir. Şöyle hayal edin: Büyük, göz alıcı bir otele girdiniz ve bir oda aramaya başladınız. Bu otel, sayılabilir sonsuz sayıda odası olan devasa bir yapıya sahiptir. Ancak paradoksal bir durumda, şu anki her odada sayılabilir derecede misafir bulunmaktadır (sayılabilir sonsuz, kümedeki her öğeye bire bir doğal sayı eklenebileceği anlamına gelir).
Otel, sizi ağırlamak için bir düzenleme yapabilir. Örneğin, birinci odadaki konuğu ikinci odaya taşıyarak eş zamanlı olarak tüm misafirleri bir sonraki odaya aktarabilir. Bu şekilde, her misafir mevcut odasından yeni bir odaya taşınır (x odasından x+1 odasına). Sonsuz sayıda oda olduğu için her misafire yeni bir oda tahsis edilecek ve birinci oda tamamen boş kalacaktır, böylece konaklamanızı keyifle geçirebilirsiniz.
Bu düzenlemeyi herhangi bir sayıda sonlu konuğa uygulamak da mümkündür. Örneğin, 3000 kişi gelip oda istese, sadece işlemi tekrar ederek bu talebi karşılayabiliriz.
Ancak daha karmaşık bir durumu ele alalım: Arkadan sayılabilir sonsuz sayıda insan sırayla gelip her biri bir oda isterse. Bu durumda, her misafiri iki katına çıkararak bir çözüm bulabiliriz (2x). Birinci odadaki misafiri ikinci odaya, ikinci odadaki misafiri dördüncü odaya taşıyarak devam ederiz. Bu yöntemle, tek sayılı odaların tamamı açık kalacak ve her yeni misafir önceki müşterilerin taşındığı çift sayılı odalara yerleştirilebilecektir.
