Baha YILMAZ'ın 16 Aralık 2023 tarihli yazısı: Öklidyen Geometri, Bolyai ve Gauss’un Kötülüğü

Bir süredir siyaset ve siyaset kurumunun uygulamalarıyla uğraşıp durduğumu fark edince bugün ki yazımı farklı bir konuya ayırdım.

Bilim tarihi hep ilgimi çeken bir alan olmuştur. Ayrıca oğlumun ilgi alanlarından biri de matematik olunca Oklid, Bolyai ve Gauss üzerinden bir öykü anlatayım istedim.

İskenderiyeli Öklid, 2000 yıldan fazla bir süre önce yaşamış ve genellikle geometrinin babası olarak anılan bir Yunan matematikçidir. Kaleme aldığı ‘Elementler’ isimli kitabı şimdiye kadarki en başarılı kitaplardan biridir. Aslında anlatacağım hikâye de bu kitaptan kaynaklanıyor. Tabiri caizse her şey bu Öklid denilen adamın başının altından çıkıyor. Elementler kitabı belki de tarihin en eski tartışmalarından birine yani Beşinci Aksiyom krizine neden olmuştur.

Ortalığı Karıştıran Öklid Efendi

Rahat olun, bahsettiğim meselelerin hepsini açıklayacağım. Öklid, kitabında nokta, çizgi, yüzey ve cisim gibi geometrik kavramları tanımladıktan sonra kitaptaki tanımların tutarlı olmasını sağlamak için ‘kanıt gerektirmeyen apaçık gerçekler’ diye nitelediği beş aksiyomu sıraladı. Daha sonra aksiyomlara postulat da denildi. Postulatı ispat gerekmeyen önerme olarak tanımlayabiliriz.

Peki neydi bu beş aksiyom?

Öklid’in beş postulatına bakalım:

1) İki nokta arasını birleştiren en kısa yol bir doğrudur. (İki noktadan bir ve yalnız bir doğru geçer.)

2)Bir doğru iki yöne de sonsuza kadar uzatılabilir.

3)Bir nokta ve bu noktadan başlayan bir doğru parçası verildiğinde, yarıçapı verilen doğru parçası ve merkezi verilen nokta olan bir çember çizebilirsiniz.

4) Bütün dik açılar birbirine eşittir. (Bu ifade oldukça anlamsız gelecektir. Ancak Öklid’in dik açıları derece veya başka bir açı ölçüsü ile tanımlamadığını düşündüğümüzde bu gerçeği belirtme ihtiyacını anlayabiliriz.)

5)Eğer bir doğru parçasını, iki doğrunun üzerinden geçecek şekilde çizerseniz ve aynı tarafta doksan dereceden daha az iki açı oluşursa, o zaman bu iki doğru kesişir.

Bu beşinci postulat maalesef işi karıştıran ancak dünyanın kaderini değiştiren bir aksiyomdu.

Bunu biraz açalım. Öklid, ilk 28 teoremini kanıtlamak için beşinci önermesine ihtiyaç duymamıştı. Kendisi de dahil olmak üzere birçok matematikçi, beşinci aksiyomun aslında sadece ilk dört önerme ile kanıtlanabileceğini düşünüyordu. Aslında bu bir nevi tümevarım metodunun kullanılması gibiydi. Yani bir genelleme yapılması gibi bir rahatlık alanı inşa ediyordu.

Tümevarımın Dayanılmaz Kolaylığı

Tümevarımın anlaşılması için bir örnek verelim. Günlük yaşamda, genellikle iki tür akıl yürütme kullanırız. Bunlardan biri tümevarımdır. Bu akıl yürütme yöntemi sayesinde de çevremizde gördüklerimizden genel bir sonuç çıkarmaya çalışırız. Örneğin yaşadığımız ortamda ya da coğrafyada koyunlar beyaz renkli ve kürklü ise tüm koyunların beyaz ve kürklü olduğunu düşünebiliriz. Bu bilim metodolojisi için bir kolaylık sağlasa da her zaman iş görmeyebilir. Örneğin evrende beyaz renkli koyunlar olmadığını bilmiyorsanız, daha doğrusu evrendeki her koyunu gördüğünüzden emin olamazsınız. Bu da sizi yanlış düşünmeye sevk edebilir. Diğer yöntem olan Tümdengelim ise bu yöntemin tam tersi olarak düşünebilirsiniz.

Düelloların Gözü Kara Kralı: Bolyai

Öklid’in 5. Postulatı pek çok matematikçi için bir kâbus oldu. Aşağı yukarı bu mesele insanlığı 1500 yıl uğraştırdı. Ancak bir gün genç bir çocuk bu meseleyi çözecek bir yöntem geliştirdi. Bu genç adamın adı Janos Bolyai’ydi. (1802-1860) Enteresan özelliklere sahip bir gençti. Babası ve öğretmeni Farkas Bolyai bir süre Gauss’un öğrencisi olmuş başarılı bir matematikçiydi. Janos Bolyai de yetenekli bir çocuktu. Matematiğin yanı sıra keman çalıyor ve eskrim dersleri alıyordu. İlerleyen yıllarda bu iki alanda o kadar ilerledi ki en zor parçaları küçük yaşlarda çalabiliyor, kılıç kullanmadaki yeteneği sayesinde girdiği düellolarda haklı bir üne sahip olmuştu. Hatta bir keresinde bölüğünde bulunan subayların hepsi ile düelloya tutuşmuş ve hepsini tek bir seferde yenmişti. Tek bir seferde dediğime bakmayın her iki düelloda bir keman eseri icra ederek dinlenmişti. Toplamda 13 kişiyi yenmiş diğer bir değişle pert etmişti.

Gençlik Cüreti Yeni bir Geometri Keşfetti

Matematikçi János Bolyai’nin keşfettiği şey beşinci postulatı gerektirmeyen, daha farklı bir geometrinin var olabileceği idi. Yani Öklidyen geometrinin dışında farklı geometrilerin olabileceğiydi.

Bu ne işimize yaradı diye sorabilirsiniz. Eğer Janos Bolyai’nin temelini attığı hiperbolik geometri olmasaydı, bugün uzayla olan ilişkimizi tanımlayamaz farklı boyutları anlayamazdık. Bu iki geometri arasındaki farkı temel bir örnek vererek ayrıştıralım. Tüm lise öğrencilerinin bildiği temel bir geometrik formül vardır ve bu formül Öklidyen geometriye aittir. Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180 dereceye eşittir. Oysa Hiperbolik geometride bir üçgenin iç açılarının toplamı 180 dereceden daha az olabilir. Hadi bir örnek daha verelim Einstein Görelilik teorisini geliştirmek için Hiperbolik geometriyi kullanmıştır.

 Gauss’un Kötülük Problemi

Peki Janos Bolyai’ye ne oldu? Bu parlak genç kendisi gibi matematikçi olan babasına çalışmalarını özetleyen bir mektup yazdı. Baba Bolyai okuduklarına inanamadı ve oğlunun elde ettiği sonuçları Gauss ile paylaştı. Gauss, bu sonuçlardan çok etkilenmesine, hatta genç Bolyai’nin bir dahi olduğunu anlamasına rağmen baba Bolyai’ye küçümser bir cevap verdi. Bunu öğrenen Janos Bolyai hayata küstü. Bir süre sonra kendi çalışmalarına benzer bir çalışmanın bir başka matematikçi tarafından yayımlandığını görünce tamamıyla matematiği bıraktı. Öldüğünde arkasında 20.000 sayfa yayınlanmamış matematik notu bıraktı.

Bolyai olmasaydı muhtemelen bugün parabolik geometriyi bilmeyecek ya da çok geç öğrenmiş olacaktık. Belki de bu yüzden uzaya uydular göndermemiz ya da farklı boyutları keşfetmemiz birkaç yüz yıl daha sürecekti.

Batının Yükselişindeki Gizli Kahramanlar

Matematik belki de mutlak kesinliğin mümkün olduğu tek alandır. Bu yüzdendir ki matematikçiler iddialarını ispat etmek için çalışırlar. Tarihte tek bir formül için hayatını harcayan pek çok matematikçi ile karşılaşabilirsiniz. Bir ihtimaldir ki bu formüllerin büyük bir bölümü biz sıradan insanların hayatlarına bile dokunmaz. Bu yüzdendir ki, batı dediğiniz kavram hiçbir işe yaramayan (!) bu formülleri geliştirmeye çalışan adamların üstünde yükselmiştir. Onlar yapmışlar biz ise taklit etmişizdir. Buradan şu anlam da çıkmamalı. Onlar iyi de biz mi hep kötüyüz. Tabi ki hayır! Gauss’un kötülüğü ve kıskançlığı göz ardı edilemez. Yaptığı küçük bir kıskançlık gösterisi bir matematikçinin hayatına mal olmuştur. Ancak bu Alman matematikçinin; astronom, istatistikçi, olağanüstü katkılardan dolayı "Matematikçilerin prensi" ya da "antik çağlardan beri yaşamış en büyük matematikçi" unvanlarını almasını engellememiştir.

Peki, bizdeki bilim adamlarının yaşadıklarını ve sonlarını merak eden var mı?